12. 剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。

解题思路

题目分析:
先举几个例子,可以看出规律来。

  • n = 4 : 2*2
  • n = 5 : 2*3
  • n = 6 : 3*3
  • n = 7 : 2*2*3 或者4*3
  • n = 8 : 2*3*3
  • n = 9 : 3*3*3
  • n = 10:2*2*3*3 或者4*3*3
  • n = 11:2*3*3*3
  • n = 12:3*3*3*3
  • n = 13:2*2*3*3*3 或者4*3*3*3

下面是分析:
首先判断k[0]到k[m]可能有哪些数字,实际上只可能是2或者3。

  • 当然也可能有4,但是4=2*2,我们就简单些不考虑了。
  • 5<2*3,6<3*3,比6更大的数字我们就更不用考虑了,肯定要继续分。
  • 其次看2和3的数量,2的数量肯定小于3个,为什么呢?因为2*2*2<3*3,那么题目就简单了。
  • 直接用n除以3,根据得到的余数判断是一个2还是两个2还是没有2就行了。
  • 由于题目规定m>1,所以2只能是1*1,3只能是2*1,这两个特殊情况直接返回就行了。
  • 乘方运算的复杂度为:O(logn),用动态规划来做会耗时比较多。

代码实现

java 代码

/**
 * 给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
 *
 * @param n
 * @return
 */
public int cutRope(int n) {
    if (n == 2) {
        return 1;
    } else if (n == 3) {
        return 2;
    }
    int mod = n % 3;
    if (mod == 2) {
        //除以3后余2,则截成 n/3 段长度为3的绳子后还余长度为2的绳子;
        //此时相乘,乘积最大
        //即  2 * 3^(n / 3)
        return (int) (2 * Math.pow(3, n / 3));
    }else  if (mod == 1) {
        //除以3后余1,则截成 n/3 段长度为3的绳子后还余长度为1的绳子;
        // 乘以长度为1的没有什么变化,则可以取出一段长度为3的绳子,和当前长度为1的绳子,分成两个长度为2的绳子相乘
        // 即 2 * 2 * 3^(n / 3 - 1)
        return (int) (2 * 2 * Math.pow(3, (n / 3)-1));
    }else {//可以被3整除,则可以截成 n/3 段长度为3的绳子,相乘就是 3 的 n/3次幂
        return (int) (Math.pow(3, n / 3));
    }
}


public static void main(String[] args){
    System.out.println(cutRope(8));
    System.out.println(cutRope(9));
    System.out.println(cutRope(10));
}

Kotlin 代码

/**
 * 给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
 *
 * @param n
 * @return
 */
fun cutRope(n: Int): Int {
    if (n == 2) {
        return 1
    }
    if (n == 3) {
        return 2;
    }
    return when (n % 3) {
        0 -> {//可以被3整除,则可以截成 n/3 段长度为3的绳子,相乘就是 3 的 n/3次幂
            3.0.pow(n / 3).toInt()
        }
        1 -> {//除以3后余1,则截成 n/3 段长度为3的绳子后还余长度为1的绳子;
            // 乘以长度为1的没有什么变化,则可以取出一段长度为3的绳子,和当前长度为1的绳子,分成两个长度为2的绳子相乘
            // 即 2 * 2 * 3^(n / 3 - 1)
            3.0.pow(n / 3 - 1).toInt() * 2 * 2
        }
        else -> {
            //除以3后余2,则截成 n/3 段长度为3的绳子后还余长度为2的绳子;
            //此时相乘,乘积最大
            //即  2 * 3^(n / 3)
            2 * 3.0.pow(n / 3).toInt()
        }
    }
}



/**
 * 入口函数
 */
fun main(args: Array<String>) {
    println(cutRope(8))
    println(cutRope(9))
    println(cutRope(10))
}

引用声明

该题目引用自
牛客网